Sesión 4: Isomorfismo – Relaciones de modelación - Análisis y síntesis

Tomado de: VASCO Carlos Eduardo, BERMÚDEZ Ángela, ESCOBEDO Hernán, NEGRET Juan Carlos, LEÓN Teresa. El saber tiene sentido – Una propuesta de integración curricular. Bogotá: CINEP, 2000.

Un ejemplo de matemáticas

En matemáticas no se suele considerar el contenido específico que se está estudiando en clase como un sistema, sino como un conjunto de elementos con los que se trabaja, y así se pierden de vista los procesos que se tratan de modelar con ese sistema, así como su estructura y su dinámica, la relación con subsistemas o suprasistemas, y las analogías estructurales con otros sistemas de otras ramas de las matemáticas. Se dice por ejemplo que vamos a trabajar con el conjunto de los números enteros, cuando en realidad siempre trabajamos con ellos como componentes de un sistema con sus operaciones (que en este caso son las de pasar al siguiente, cambiar de signo, sumar, restar, multiplicar, dividir con residuo por defecto, dividir con residuo por exceso y elevar a potencias naturales), y con sus relaciones (que en este caso son las de ser sucesor, o ser predecesor; de ser estrictamente menor, o ser estrictamente mayor; de ser mayor o igual, o ser menor o igual; de ser opuesto o inverso aditivo; de ser divisor propio, o ser múltiplo propio; de ser divisor o igual, o ser múltiplo o igual, y de ser primos entre sí, para no hablar de las relaciones de congruencia, una para cada número de contar).

Si se trata de estudiar el anillo de los enteros, las únicas operaciones esenciales son la adición y la multiplicación, y las relaciones esenciales entre los números son las que tiene cada uno con otros dos cuando es la suma de ellos dos, o cuando es el producto de ellos dos; las que tiene el cero con todos como módulo de la adición, las que tiene el uno con todos como módulo de la multiplicación y las que tiene cada uno con su opuesto o inverso aditivo. La relación esencial entre las dos operaciones está dada por la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición (no viceversa). Las otras operaciones enumeradas arriba no son esenciales para que el sistema tenga la estructura de anillo, ni las relaciones de orden aditivo son esenciales para que sea anillo, pero sí para que sea anillo ordenado.

Revisar cada tema de matemáticas para caer en la cuenta de que no se trabaja propiamente con conjuntos de números, de letras, de puntos y rectas, de matrices, etc., sino siempre con sistemas muy bien delimitados en cuanto a sus operaciones y relaciones, es muy útil para apreciar las relaciones internas entre sistemas del mismo tipo, por ejemplo de tipo numérico, de tipo geométrico o de tipo analítico, y las relaciones transversales entre sistemas de distintos tipos. Las matemáticas no hubieran progresado gran cosa si no fuera porque nuestro cerebro detecta que distintos sistemas matemáticos, cuando ya se han vuelto para nosotros familiares y concretos, tienen la misma estructura. Los matemáticos llaman isomorfos a esos sistemas que tienen la misma estructura, pues en griego “iso” significa “la misma”, y “morphe” significa “forma” o “estructura”. Una de las maneras más potentes en las que avanzan las matemáticas es por la construcción de un nuevo sistema más complejo que tenga subsistemas isomorfos a otros sistemas ya conocidos; cuando los matemáticos se familiarizan con el nuevo sistema complejo hasta el punto en que ya les parece muy concreto, se olvidan de las diferencias entre los subsistemas y sus sistemas isomorfos, lo que nos deja completamente perplejos a los seres normales que todavía no estamos familiarizados ni siquiera con los sistemas anteriores, que todavía nos siguen pareciendo muy abstractos.

Análisis - síntesis

Cuando recortamos o diferenciamos estamos desarrollando una labor de pensamiento analítico. La actividad de reconstituir el todo dinámico corresponde a una labor de pensamiento sintético. Estas dos formas de pensar son absolutamente necesarias. No podemos comprender si no fraccionamos analíticamente el todo: si no fraccionamos el macroproceso, los procesos o los subprocesos. Pero si fraccionamos todo y nos quedamos a mitad de camino, sin restituir nunca el todo inicial sintéticamente, tampoco comprendemos nada. Quedarnos con las partes que obtenemos como producto del análisis, es conformarnos con visiones parciales y deformantes de la totalidad (del macroproceso, los procesos o los subprocesos).

Recopilando lo anterior, podemos decir que el proceso real con su totalidad, complejidad y dinamicidad produce en nosotros impresiones perceptuales que llamamos fenómenos. A partir de éstos analizamos el proceso en “subprocesos-para-nosotros”[1]. Pero estos procesos son todavía inasibles y por eso sentimos la necesidad de modelarlos por medio de sistemas. Mediante la multiplicidad de subsistemas o componentes en los que es posible y necesario dividirlos y por medio de su estructura, tratamos de capturar algo de la complejidad y totalidad del proceso real; mediante su dinámica tratamos de capturar la dinamicidad. Se hace entonces evidente que la integralidad o totalidad, la complejidad y la dinamicidad son las propiedades connaturales que podemos atribuirle al proceso real, y que, puesto que a nuestro cerebro le queda imposible capturarlas en forma inmediata, sin mediación, nos es necesario hacerlo utilizando estrategias mentales como es la explicitación de la multiplicidad de componentes de un modelo sistémico, de su estructura relacional y de su dinámica transformacional.

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[1] Con esta expresión queremos enfatizar el hecho de que la fragmentación del proceso también es resultado de nuestra actividad mental.